Meddelelser: 7
Sprog: Esperanto
nornen (Vise profilen) 17. jun. 2020 15.41.20
Jen bela problemo (adaptita el senhonte rabita bavara abituro de la jaro 1978), kiun mi jus prezentis al miaj lernantoj:
La grafikaĵo G de funkcio f konsistas el la punktoj P (x|y), estante x = ln t kaj y = ln (1 + 1/t). La parametro t transkuras la eble plej grandan intervalon B.
1. Trovu la funkciekvacion y = f (x).
La grafikaĵo G kaj la pozitivaj duonaksoj de la koordinatsistemo limigas surfacon F etendiĝantan nefinien, pri kiu nun estas esplorende, ĉu ĝia areo estas finia.
2a. Rigardu komence tiun surfaceron de F, kiu kuŝas inter la rektoj x = 0 kaj x = ln n. Kiu integralo J priskribas la areon de tiu surfacero?
2b. Trovu nun supersumon Sn, enkondukante dividpunktojn ln 2, ln 3, …, ln (n – 1) kaj anstataŭante la surfacerojn per ĉirkaŭantaj ortanguloj.
2c. Pruvu, ke ln x <= x – 1 por ĉiu pozitiva reala nombro x. Uzu tion por pruvi, ke Sn estas malgranda ol aŭ egala al la sumo ekde k = 1 ĝis k = n – 1 de (1/k)^2.
2d. Pruvu, ke 1/x^2 < 1/(x – 1) – 1/x por ĉiu reala nombro x pligranda ol 1. Uzante tion, pruvu ke la tuta supre-menciita F (etendiĝanta nefinien) havas finian areon, kaj ke tiu areo estas strikte malgranda ol 2.
----
"ln a" estas la natura logaritmo de a.
"a^b" estas la b'a potenco de a.
Zam_franca (Vise profilen) 17. jun. 2020 21.21.34
nornen:Ĉu al vi plaĉas la matematiko?Ne, al mi malplaĉas matematiko...
Jen bela problemo (adaptita el senhonte rabita bavara abituro de la jaro 1978), kiu mi jus prezentis al miaj lernantoj:
La grafikaĵo G de funkcio f konsistas el la punktoj P (x|y), estante x = ln t kaj y = ln (1 + 1/t). La parametro t transkuras la eble plej grandan intervalon B.
1. Trovu la funkciekvacion y = f (x).
La grafikaĵo G kaj la pozitivaj duonaksoj de la koordinatsistemo limigas surfacon F etendiĝantan nefinien, pri kiu nun estas esplorende, ĉu ĝia areo estas finia.
2a. Rigardu komence tiun surfaceron de F, kiu kuŝas inter la rektoj x = 0 kaj x = ln n. Kiu integralo J priskribas la areon de tiu surfacero?
2b. Trovu nun supersumon Sn, enkondukante dividpunktojn ln 2, ln 3, …, ln (n – 1) kaj anstataŭante la surfacerojn per ĉirkaŭantaj ortanguloj.
2c. Pruvu, ke ln x <= x – 1 por ĉiu pozitiva reala nombro x. Uzu tion por pruvi, ke Sn estas malgranda ol aŭ egala al la sumo ekde k = 1 ĝis k = n – 1 de (1/k)^2.
2d. Pruvu, ke 1/x^2 < 1/(x – 1) – 1/x por ĉiu reala nombro x pligranda ol 1. Uzante tion, pruvu ke la tuta supre-menciita F (etendiĝanta nefinien) havas finian areon, kaj ke tiu areo estas strikte malgranda ol 2.
----
"ln a" estas la natura logaritmo de a.
"a^b" estas la b'a potenco de a.
Kian nivelon havas viaj studentoj? Ĉu licean, ĉu universitatan? Supozeble licean, ĉar tiu problemo venas el abiturientaĵo.
nornen (Vise profilen) 17. jun. 2020 21.39.14
nadarang (Vise profilen) 18. jun. 2020 19.31.03
Ĝi estas neevitebla fakto.
nornen (Vise profilen) 18. jun. 2020 19.55.11
ombresaco (Vise profilen) 16. aug. 2020 08.58.35
La kanalo nomiĝas "facilas":
kvarelcentenorvega (Vise profilen) 16. aug. 2020 20.47.32