İçerik Görüntüleme

Matematika tasko

başlangıç sergejm, 10 Şubat 2021

Mesajlar: 91

Dil: Esperanto

nornen (Profili görüntüle) 23 Şubat 2021 16:13:18

(Eble ne estas tro klare sen bildo)
Mi unue neniel komprenis la taskon. Nun mi opinias, ke vi diris tion:
a) La komunaj tangentoj menciitaj estas la eksteraj komunaj tangentoj.
b) La punktoj de intersekto estas la intersektejoj de ĉiu paro de eksteraj komunaj tangentoj naskiĝintaj el unu paro de cirkloj. T.e. iliaj centroj de simileco.

Nomado:
Estu Tₘₙ kaj Uₘₙ la eksteraj komunaj tangentoj inter cirkloj Cₘ kaj Cₙ. Estu Xₘₙ la intersektejo inter Tₘₙ kaj Uₘₙ.

Pruvo:
Anstataŭigu ĉiun cirklon Cₙ per sfero Sₙ kun sama centro kaj sama radiuso. La ebeno difinita per la tri centroj estas la surfaco de la originala tasko. Nun aldonu tri konusojn tiajn, ke la surfaco de la konuso Kₘₙ estas tangenta kaj al Sₘ kaj al Sₙ. Ni vidas, ke Tₘₙ ⊂ Kₘₙ kaj Uₘₙ ⊂ Kₘₙ. Cetere, Xₘₙ estas la pinto de Kₘₙ.

Nun sandviĉigu la tri sferojn (бутербродуй сферы, ĥaĥa) inter du ebenoj tangentaj al la sferoj (tiuj du ebenoj estas bone-difinitaj). La ebenoj nomiĝu E kaj F.

Kₘₙ estas tangenta al E, kaj tial ĝia pinto Xₘₙ ∈ E. Kₘₙ estas tangenta al F, kaj tial ĝia pinto Xₘₙ ∈ F. Sekve, Xₘₙ ∈ E ∩ F. La linio E ∩ F estas la de vi menciita linio, sur kiu kuŝas la tri intersektejoj Xₘₙ.

nornen (Profili görüntüle) 23 Şubat 2021 17:12:11

Nova tasko:
Ĉiu natura nombro povas esti esprimata per sekvenco de esperantaj vortoj. Ekz 3249 povas esti esprimata per "trimil ducent kvardek naŭ" aŭ per "kvindek sep kvadratigite" aŭ per "trimil cent plus cent kvardek naŭ".

Pruvu, ke ĉiu natura nombro povas esti esprimata per malpli ol dek du vortoj.

sergejm (Profili görüntüle) 23 Şubat 2021 17:23:03

Eblas plifortigi la rezultoj: sufiĉas nur du vortoj (unu, plus), aŭ tri (nul, unu, plus), se vi volas esprimi ankaŭ 0.
1 = unu
2 = unu plus unu
3 = unu plus unu plus unu
kaj tiel plu.

nornen (Profili görüntüle) 23 Şubat 2021 17:40:44

Mi malbone vortigis:

Pruvu, ke ĉiu natura nombro povas esti esprimata per sekvenco de vortoj, kies longo estas malpli ol dek du.

Ne gravas kiom da malsamaj vortoj.

sergejm (Profili görüntüle) 23 Şubat 2021 18:09:37

Se ni uzas N malsamajn vortojn, tiam per sekvenco el 12 vortoj ni povas fari maksimume N¹² nombrojn. Do N devas esti senfina, ekzemple enhavi ne tro naturajn milmilmil...milmil.

nornen (Profili görüntüle) 23 Şubat 2021 22:09:19

Hmm, mi faris eraron tradukante el la hispana Esperanten. La hipotezo estas:

Ĉiu natura nombro povas esti esprimata per malpli ol dek tri vortoj.

Tamen via argumento restas sama. Ni havas maksimume N¹³ eblojn.

Jen pruvo per kontraŭdiro:

Ni supozu la kontraŭon, t.e. "Ekzistas nombro aŭ nombroj, kiu(j) ne povas esti esprimata(j) per malpli ol dek tri vortoj". Laŭ la aksiomo de separacio de ZF, ekzistas sekve la aro de ĉiuj tiaj nombroj. Pro la kontraŭhipotezo tiu aro ne estas malplena kaj ĉar ĝi estas subaro de N, ĝi havas plej malgrandan elementon. Tiu elemento povas esti difinita per "la plej malgranda natura nombro neesprimebla per malpli ol dek tri vortoj". Tamen tiu esprimo enhavas 12 vortojn. Ĉar 12 < 13, jen kontraŭdiro. Q.E.D.

sergejm (Profili görüntüle) 24 Şubat 2021 02:10:02

Mi sciis pri kontraŭdiro en teorio de aroj, sed en la pruvo oni rigardis aron de ĉiuj aro - ĉi tiu aro estas pli granda ol la kalkuebla kaj eĉ la kontinua,.
Eble ni ne rigardu tiom grandajn aroj, por ne renkonti kontraŭdirojn?
Sed ni vidas, ke estas kontaŭdiroj eĉ kun kalkulebla aro.
Sed fakte, la kontraŭdiro estas en la lingvo de limigoj.
Estas kontraŭdiroj eĉ kun duelementa aro:
"Subaro de {0, 1}, kiu enhavas 0, se ĝi enhavas 1, kaj enhavas 1, se ĝi ne enhavas 0"

PS: en mia tasko pri cirkloj via pruvo ne laboras, se punkto de intersektoj de eksteraj tangentoj de du cirkloj estas ene de la tria. Sed kiam mi skribis ĝin, mi ne pensis pri tia kazo kaj havis la saman solvon.

nornen (Profili görüntüle) 24 Şubat 2021 04:11:20

sergejm:"Subaro de {0, 1}, kiu enhavas 0, se ĝi enhavas 1, kaj enhavas 1, se ĝi ne enhavas 0"
La objekto de vi priskribata ne estas aro, almenaŭ laŭ ZF (Система Цермело-Френкеля).

Via eldiro estas: y = {x ∈ P({0, 1}) | (1 ∈ y → 0 ∈ y) ∧ (0 ∉ y → 1 ∈ y) } aŭ eble (okaze de "se kaj nur se") y = {x ∈ P({0, 1}) | (1 ∈ y ↔ 0 ∈ y) ∧ (0 ∉ y ↔ 1 ∈ y) }

La aksiomo de apartigo (аксиома подмножеств, аксиома выделения, аксиома вырезания) specifigas, ke en esprimoj kiel y = {x ∈ a | φ(x) }, y ne povas aperi libera en φ. Sed precize tio okazas en via φ = (1 ∈ y → 0 ∈ y) ∧ (1 ∈ y → 0 ∉ y).

Tio estas alia formo de la paradokso de Russell aŭ de la paradokso de la barbisto. La barbisto stucas la barbon de ĉiuj, kiuj ne stucas sian propran barbon. Sed ZF forigis la paradoksojn de la "naiva" aro-teorio. Kaj poste ZFC tute fikis ZF....

PS: Ankaŭ mi ne pensis pri tio. Mi nur pensis pri la skribaĉetoj en la papero antaŭ mi. ~.~

nornen (Profili görüntüle) 24 Şubat 2021 04:15:41

Mi sciis pri kontraŭdiro en teorio de aroj, sed en la pruvo oni rigardis aron de ĉiuj aro - ĉi tiu aro estas pli granda ol la kalkuebla kaj eĉ la kontinua,.
Mi ne komprenas. La aro de "ĉiuj naturaj nombroj, kiu(j) ne povas esti esprimata(j) per malpli ol dek tri vortoj" estas subaro de N kaj sekve ĝia grandeco estas <= ℵ₀. Kaj strikte pli malgranda ol la kontinuo 2**ℵ₀.

sergejm (Profili görüntüle) 24 Şubat 2021 05:13:56

Mi poste donis ekzemplon pli aro de du elementoj - eblas trovi kontaŭdiro eĉ kun ĝi
Sed kontraŭdiro estas en lingvo.
Ni povas diri verajn, malverajn, sensencajn espimoj k. t. p.
Inter veraj estas nepruveblaj, sed kiel mi scias, estas konata neniu nepruvebla esprimo.

Estas filmo, kie reĝo renkontas nekonatan vorton X. Li rigardas vortaron, ĝi estas eksplikata per alia nekonata vorto Y. Li rigradas vorton Y.
Ĝi estas eksplikata per X.

"la plej malgranda natura nombro neesprimebla per malpli ol dek tri vortoj el vortoj nul, unu, du, tri, ..., dek, cent, mil kaj aritmetikaj operacioj plus, minus, mutiplikite, dividite, kvadratite" - estas konkreta, kalkulebla numbro. Vi povas aldoni pliajn operaciojn, la numbro restos kalkulebla.
Sed originala "natura nombro neesprimebla per malpli ol dektri vortoj" kaŝe difinas nombron per si mem

Başa geri dön