Kara amigueo,

eble estus interese al vi legi pri nombroj surrealaj (difinite per Conway, la matematikisto fama pro la monstra grupo kaj la ludo de l' vivo), ĉar ili baze estas amiguea sekvenco.

La nombroj surrealaj naskiĝas tage-post-tage.

En la nula tago naskiĝas la nombro <:> = 0.

En la unua tago naskiĝas la nombroj <:0> = -1 kaj <0:> = 1, kaj ni
havas -1 < 0 < 1.

En la dua tago naskiĝas la nombroj:
<:-1> = <:-1, 0> = <:-1, 1> = <:-1, 0, 1> = -2
<-1:0> = <-1:0, 1> = -1/2
<0:1> = <-1, 0:1> = 1/2
<1:> = <0, 1:> = <-1, 1:> = <-1, 0, 1:> = 2
kaj ni havas
-2 < -1 < -1/2 < 0 < 1/2 < 1 < 2

En la tria tago naskiĝas multe nombroj kaj ni havas:
-3 < -2 < -3/2 < -1 < -3/4 < -1/2 < -1/4 < 0 < 1/4 < 1/2 < 3/4 < 1 < 3/2 < 2 < 3

ktp ktp ktp

Sed mi ne klare komprenas, se tiu listo de amigueaj sekvencoj estas mem unuo, strukturo el kiu la lasta sekvenco poviĝas rekonstrui la tutan procedon aŭ la tutan liston, ekde la unua sekvenco.

Ĉu oni povas rekonstrui la tutan evoluadon el la lasta sekvenco, dependas de kiaj "enŝovoj" estas permesitaj.

Ekzemple se la subo estas valida amiguea evoluado, ne eblas rekonstrui la tutan evoluadon:

1: Pomo
1: Pomo; 2: Terpomo
1: Pomo; 1,5: Avokado; 2: Terpomo
1: Pomo; 1,25: Kato; 1,5: Avokado; 2: Terpomo
1: Pomo; 1,25: Kato; 1,5: Avokado; 1,75: Hundo; 2: Terpomo

Nur sciante la lastan sekvencon, oni ne povas scii, ĉu la antaŭlasta estis (1: Pomo; 1,25: Kato; 1,5: Avokado; 2: Terpomo) ĉu (1: Pomo; 1,5: Avokado; 1,75: Hundo; 2: Terpomo).
Nur sciante la duan sekvencon, oni ne povas scii, ĉu la unua sekvenco estis (1: Pomo) aŭ (2: Terpomo).

Pri la tempa ordo, ni nur povas konstati:
Pomo, Terpomo < Avokado < Kato, Hundo

Mi bezonus scii pli detaloj pri la ekzakta evoluado por povi derivi teoremojn pri la amiguea evoluado.

Ĉu evoluado komenciĝas kun unu elemento?
Ĉu evoluado komenciĝas kun du (limaj) elementoj?
Ĉu eblas aldoni elementojn for de la limaj elementoj?
ktp

nornen,

Mi ne scias, ĉu amigueo parolas pri ZF-aroteorio.

La origina problemo, kiel mi ĝin komprenis, estis...

Supozu ni havas sekvencon v, kie
- la unua elemento v₁ havas valoron "pomo"
- la dua elemento v₂ havas valoron "avokado"

v = (v₁,v₂)=(pomo,avokado)

kaj oni enmetas novan elementon kun valoro "terpomo" inter ilin. Laŭ amigueo ĉi tiu nova elemento ekhavus indekson 3/4
- la 3/4-a elemento v₃/₄ havas valoron "terpomo"

Pravas, ke aliaj etikedoj taŭgas, kvankam oni ĝenerale uzas nur naturaj nombroj por elnombri. Temas pri bildigo. Se la fonta aro en ĉi tiu bidligo estas alia ol naturaj nombroj, oni ne plu povas paroli pri kioma elemento unu certa elemento estas.

v = (v₁,v₃/₄,v₂)=(pomo,terpomo, avokado)

saluton, nornen, Metsis,

ĉe amiguea sekvenco,
evoluado ekas per nenioa elemento kaj la unua paŝo aperigas unuan elementon kaj laŭvole ni povas nomi ĝin "nul" au origino aŭ elemento "unu" sed ajna finia numero taŭgus same por nomi la unua elemento (eble ankaŭ nefinia numero taŭgus). La dua elemento aperus en unu el du eblaj situoj: dekstre aŭ maldekstre de la unua elemento. La tria elemento nur havus tri eblojn aperi, kaj la kvara elemento, kvar eblojn aperi.
Kiel nomiĝi ĉiu nova elemento? Per numero, tiel ke la relativa situo pri la plej proksimaj elementoj estas klara, sed tute ne gravas se tiu numero (nomo) ne estas ekzakte en la mezo de la plej proksimaj "nomoj".

Por nomi ĉiu nova elemento de la sekvenco, mi unue proponis la raciajn numerojn, sed eblus reelaj aŭ aliaj, se la gastiga numer-aro havus pli ol unu dimension. La "numeroj" kiuj servas nomi ĉiun novan elementon montras "ordon" aŭ relativan situon pri la aliaj elementoj jam nomitaj.

Mi rimarkis, ke amiguea sekvenco ne estas evolu-traca sekvenco.
Evolu-traca sekvenco estas interesa. Ĝi imponus aldonajn kondiĉojn al amiguea sekvenco.
Kiaj kondiĉoj igus amiguean sekvencon evolutraca? Interese, sed alia afero.

Pri nombroj surrealaj de Conway, mi trovas grandan rilaton kun amiguea sekvenco.
Surrealaj nombroj, iel !!, plenigas en ĉiu pulso, ĉiujn kreskoeblojn de amiguea sekvenco.


Kioma elemento? la kerna ideo por amiguea sekvenco estas ke la naturaj numeroj ne estas la solaj por nomi ordon: unua, dua, tria… Raciaj numeroj, reelaj numeroj… estas taŭgaj por nomi ordon (rilato al la aliaj elementoj jam aperintaj)

Kara amigueo

Dankon por la klarigoj. Antaŭ ol pli priparolis la temon, mi klopodis strukturigi kaj notacie esprimi viajn eldirojn, kaj mi premis la liberecon aldoni du konceptojn: patrinojn kaj patrojn. Bonvolu ĝustigi ĉian eraron aŭ malkomprenon.

Amigueaj Sekvencoj

Amiguea sekvenco aŭ A-sekvenco estas kvaropo (E, I, R, F) enhavanta elementan aron E, indeksan aron I, ordigantan aron R kaj elnombrantan aron F. La kvaropo devas kontentigi la sekvajn eldirojn:

(i) R ⊆ I ⨯ I
(ii) ∀ i ∈ I ∀ j ∈ I . (i, j) ∈ R ∨ (j, i) ∈ R
(iii) ∀ i ∈ I ∀ j ∈ I . [ (i, j) ∈ R ∧ (j, i) ∈ R ] ⟶ i = j

(iv) F ⊆ I ⨯ E
(v) ∀ i ∈ I ∃ e ∈ E . (i, e) ∈ F
(vi) ∀ i ∈ I ∀ e ∈ E ∀ f ∈ E . [ (i, e) ∈ F ∧ (i, f) ∈ F ] ⟶ e = f

Kontentigante (i) – (iii), la aro R estas relacio sur I kaj tutece ordigas I. Kutime oni uzas infiksan notacion, tio estas:

a R b ⟷ (a, b) ∈ R

Kontentigante (iv) – (vi), la aro F estas funkcio el I al E. Kutime oni uzas funcian notacion, tio estas:

F (a) = b ⟷ (a, b) ∈ F

Ĉar A-sekvencoj temas pri elnombrado, oni ankaŭ uzas indeksan notiacion, tio estas:

s = (E; I; R; F) ∧ (a, b) ∈ F ⟷ s = (E; I; R; F) ∧ sₐ = b

La simbolo sₐ nomiĝas la a’a elemento de la A-sekvenco.

A-sekvenco s = (E; I; R; F) tutece ordigas la bildo-aron de F tiel:

∀ i ∈ I ∀ j ∈ I . sᵢ ⩹ sⱼ ⟷ i R j

Amigueaj Evoluoj

Amiguea evoluo aŭ A-evoluo estas klasika sekvenco konsistanta el A-sekvencoj. Estu vₙ = (Eₙ, Iₙ, Rₙ, Fₙ) la n’a A-sekvenco de la A-evoluo nomita v. La A-evoluo devas kontentigi la sekvajn eldirojn:

(vii) vₒ = (Eₒ, ∅, ∅, ∅)
(viii) ∀ n ∈ ℕ . Eₙ = Eₒ
(ix) ∀ n ∈ ℕ . Iₙ ⊊ Iₙ₊₁
(x) ∀ n ∈ ℕ ∀ i ∈ Iₙ₊₁ ∀ j ∈ Iₙ₊₁ . (i ∉ Iₙ ∧ j ∉ Iₙ) ⟶ i = j

Ĉar la elementa aro de ĉiuj A-sekvencoj de A-evoluo estas samaj, oni povas forlasi la indekson de tiu aro, kaj oni nomas A-evoluon kun E = Eₒ = Eₙ “A-evoluo sur E”.

Difino 1: vₙ ᵢ nomiĝu la patrino de vₙ₊₁ ⱼ, se i kaj j kontentigas la sekvantan kondiĉon:

i ∈ Iₙ ∧ j ∈ Iₙ₊₁ ∧ j ∉ Iₙ ∧ i Rₙ₊₁ j ∧ (∄ k ∈ Iₙ . i Rₙ₊₁ k ∧ k Rₙ₊₁ j)

Se la patrino de x ekzistas kaj egalas y, oni skribas M (x) = y. Se ne ekzistas tia y, x nomiĝu senpatrina.

Difino 2: vₙ ᵢ nomiĝu la patro de vₙ₊₁ ⱼ, se i kaj j kontentigas la sekvantan kondiĉon:

i ∈ Iₙ ∧ j ∈ Iₙ₊₁ ∧ j ∉ Iₙ ∧ j Rₙ₊₁ i ∧ (∄ k ∈ Iₙ . j Rₙ₊₁ k ∧ k Rₙ₊₁ i)

Se la patro de x ekzistas kaj egalas y, oni skribas P (x) = y. Se ne ekzistas tia y, x nomiĝu senpatra.

dankon, nornen.
lunde mi studos vian densan mesagxon.

du duononoj estas kvar.

Unuono de kuko estas kuko kun unusola tranĉo de la centro al la bordo.

Altebrilas diris:
"Du duononoj estas kvar"
"Unuono de kuko estas kuko kun unusola tranĉo de la centro al la bordo".

amigueo:
duono 0,5 , duonono 2 , duononono 0,5 , duonononono 2...
Serio nefinia: 0,5, 2, 0,5, 2, 0,5, 2, 0,5, 2, 0,5, 2, 0,5, 2, 0,5, 2,...
ĉiamkaj "0,5, 2"

duoblo 2, duobloblo 2, duoblobloblo 2, duobloblobloblo 2…

el tio oni povus diri:
2x3 = du on-on 3
2/3 = du on tri


Pri "unuono" mi aplaŭdas.

Certe "unuon-" aŭ "unuobl-" ne estas "unu",

ĉu "unuono" estas ""unu" preta por oniĝo"?
sed en esperanto mankas vorto klara por diri "unuono" aŭ "unuoblo" ("unuo" estas nur kompromeso) en maniero neŭtrala pri obligo kaj onigo.
min miras kial en esperanto oni ne uzas pli ofte "unuoblo" kaj "unuono"?

TIO INSPIRAS:
"kuko ne-sen sukero" ne estas "kuko kun sukero"
nu, tio dependas de lingvaj resursoj. se "ne-sen" estas la sola maniero diri "kun", tiam oni perdas tiun subtilaĵon.

saluton kara nornen,

Longe mi digestas la mesaĝo de nornen pri Amigueaj sekvencoj kaj Amigueaj evoluoj, patrinoj kaj patroj.
Ĉar mi ne flue komprenas la matikan lingvaĵon.

Mi komprenis la matematikajn kondiĉojn de A-Sekvenco, kvankam mi trovis la notacion pliklariginda.
Kial poste paroli pri Evoluoj?
Ĉar Sekvenco ne bone adaptiĝas al la maniero kreski de la amigueaĵo.
Sekvenco nur montras la aferon inter du kreskmomentoj.

Mi komprenas ke Evoluoj volas solvi tiun mankon, kaj mi ne bone komprenas Evoluon.