Mesaĝoj: 7
Lingvo: Esperanto
nornen (Montri la profilon) 2020-junio-17 15:41:20
Jen bela problemo (adaptita el senhonte rabita bavara abituro de la jaro 1978), kiun mi jus prezentis al miaj lernantoj:
La grafikaĵo G de funkcio f konsistas el la punktoj P (x|y), estante x = ln t kaj y = ln (1 + 1/t). La parametro t transkuras la eble plej grandan intervalon B.
1. Trovu la funkciekvacion y = f (x).
La grafikaĵo G kaj la pozitivaj duonaksoj de la koordinatsistemo limigas surfacon F etendiĝantan nefinien, pri kiu nun estas esplorende, ĉu ĝia areo estas finia.
2a. Rigardu komence tiun surfaceron de F, kiu kuŝas inter la rektoj x = 0 kaj x = ln n. Kiu integralo J priskribas la areon de tiu surfacero?
2b. Trovu nun supersumon Sn, enkondukante dividpunktojn ln 2, ln 3, …, ln (n – 1) kaj anstataŭante la surfacerojn per ĉirkaŭantaj ortanguloj.
2c. Pruvu, ke ln x <= x – 1 por ĉiu pozitiva reala nombro x. Uzu tion por pruvi, ke Sn estas malgranda ol aŭ egala al la sumo ekde k = 1 ĝis k = n – 1 de (1/k)^2.
2d. Pruvu, ke 1/x^2 < 1/(x – 1) – 1/x por ĉiu reala nombro x pligranda ol 1. Uzante tion, pruvu ke la tuta supre-menciita F (etendiĝanta nefinien) havas finian areon, kaj ke tiu areo estas strikte malgranda ol 2.
----
"ln a" estas la natura logaritmo de a.
"a^b" estas la b'a potenco de a.
Zam_franca (Montri la profilon) 2020-junio-17 21:21:34
nornen:Ĉu al vi plaĉas la matematiko?Ne, al mi malplaĉas matematiko...
Jen bela problemo (adaptita el senhonte rabita bavara abituro de la jaro 1978), kiu mi jus prezentis al miaj lernantoj:
La grafikaĵo G de funkcio f konsistas el la punktoj P (x|y), estante x = ln t kaj y = ln (1 + 1/t). La parametro t transkuras la eble plej grandan intervalon B.
1. Trovu la funkciekvacion y = f (x).
La grafikaĵo G kaj la pozitivaj duonaksoj de la koordinatsistemo limigas surfacon F etendiĝantan nefinien, pri kiu nun estas esplorende, ĉu ĝia areo estas finia.
2a. Rigardu komence tiun surfaceron de F, kiu kuŝas inter la rektoj x = 0 kaj x = ln n. Kiu integralo J priskribas la areon de tiu surfacero?
2b. Trovu nun supersumon Sn, enkondukante dividpunktojn ln 2, ln 3, …, ln (n – 1) kaj anstataŭante la surfacerojn per ĉirkaŭantaj ortanguloj.
2c. Pruvu, ke ln x <= x – 1 por ĉiu pozitiva reala nombro x. Uzu tion por pruvi, ke Sn estas malgranda ol aŭ egala al la sumo ekde k = 1 ĝis k = n – 1 de (1/k)^2.
2d. Pruvu, ke 1/x^2 < 1/(x – 1) – 1/x por ĉiu reala nombro x pligranda ol 1. Uzante tion, pruvu ke la tuta supre-menciita F (etendiĝanta nefinien) havas finian areon, kaj ke tiu areo estas strikte malgranda ol 2.
----
"ln a" estas la natura logaritmo de a.
"a^b" estas la b'a potenco de a.
Kian nivelon havas viaj studentoj? Ĉu licean, ĉu universitatan? Supozeble licean, ĉar tiu problemo venas el abiturientaĵo.
nornen (Montri la profilon) 2020-junio-17 21:39:14
nadarang (Montri la profilon) 2020-junio-18 19:31:03
Ĝi estas neevitebla fakto.
nornen (Montri la profilon) 2020-junio-18 19:55:11
ombresaco (Montri la profilon) 2020-aŭgusto-16 08:58:35
La kanalo nomiĝas "facilas":
kvarelcentenorvega (Montri la profilon) 2020-aŭgusto-16 20:47:32