Kwa maudhui

Matematiko

ya nornen, 17 Juni 2020

Ujumbe: 5

Lugha: Esperanto

nornen (Wasifu wa mtumiaji) 17 Juni 2020 3:41:20 alasiri

Ĉu al vi plaĉas la matematiko?

Jen bela problemo (adaptita el senhonte rabita bavara abituro de la jaro 1978), kiun mi jus prezentis al miaj lernantoj:

La grafikaĵo G de funkcio f konsistas el la punktoj P (x|y), estante x = ln t kaj y = ln (1 + 1/t). La parametro t transkuras la eble plej grandan intervalon B.

1. Trovu la funkciekvacion y = f (x).

La grafikaĵo G kaj la pozitivaj duonaksoj de la koordinatsistemo limigas surfacon F etendiĝantan nefinien, pri kiu nun estas esplorende, ĉu ĝia areo estas finia.

2a. Rigardu komence tiun surfaceron de F, kiu kuŝas inter la rektoj x = 0 kaj x = ln n. Kiu integralo J priskribas la areon de tiu surfacero?

2b. Trovu nun supersumon Sn, enkondukante dividpunktojn ln 2, ln 3, …, ln (n – 1) kaj anstataŭante la surfacerojn per ĉirkaŭantaj ortanguloj.

2c. Pruvu, ke ln x <= x – 1 por ĉiu pozitiva reala nombro x. Uzu tion por pruvi, ke Sn estas malgranda ol aŭ egala al la sumo ekde k = 1 ĝis k = n – 1 de (1/k)^2.

2d. Pruvu, ke 1/x^2 < 1/(x – 1) – 1/x por ĉiu reala nombro x pligranda ol 1. Uzante tion, pruvu ke la tuta supre-menciita F (etendiĝanta nefinien) havas finian areon, kaj ke tiu areo estas strikte malgranda ol 2.

----
"ln a" estas la natura logaritmo de a.
"a^b" estas la b'a potenco de a.

Zam_franca (Wasifu wa mtumiaji) 17 Juni 2020 9:21:34 alasiri

nornen:Ĉu al vi plaĉas la matematiko?

Jen bela problemo (adaptita el senhonte rabita bavara abituro de la jaro 1978), kiu mi jus prezentis al miaj lernantoj:

La grafikaĵo G de funkcio f konsistas el la punktoj P (x|y), estante x = ln t kaj y = ln (1 + 1/t). La parametro t transkuras la eble plej grandan intervalon B.

1. Trovu la funkciekvacion y = f (x).

La grafikaĵo G kaj la pozitivaj duonaksoj de la koordinatsistemo limigas surfacon F etendiĝantan nefinien, pri kiu nun estas esplorende, ĉu ĝia areo estas finia.

2a. Rigardu komence tiun surfaceron de F, kiu kuŝas inter la rektoj x = 0 kaj x = ln n. Kiu integralo J priskribas la areon de tiu surfacero?

2b. Trovu nun supersumon Sn, enkondukante dividpunktojn ln 2, ln 3, …, ln (n – 1) kaj anstataŭante la surfacerojn per ĉirkaŭantaj ortanguloj.

2c. Pruvu, ke ln x <= x – 1 por ĉiu pozitiva reala nombro x. Uzu tion por pruvi, ke Sn estas malgranda ol aŭ egala al la sumo ekde k = 1 ĝis k = n – 1 de (1/k)^2.

2d. Pruvu, ke 1/x^2 < 1/(x – 1) – 1/x por ĉiu reala nombro x pligranda ol 1. Uzante tion, pruvu ke la tuta supre-menciita F (etendiĝanta nefinien) havas finian areon, kaj ke tiu areo estas strikte malgranda ol 2.

----
"ln a" estas la natura logaritmo de a.
"a^b" estas la b'a potenco de a.
Ne, al mi malplaĉas matematiko...
Kian nivelon havas viaj studentoj? Ĉu licean, ĉu universitatan? Supozeble licean, ĉar tiu problemo venas el abiturientaĵo.

nornen (Wasifu wa mtumiaji) 17 Juni 2020 9:39:14 alasiri

La studentoj estas en la unua semestro de la universitato, kiu ĉi tie nomiĝas "área común", kaj kies celo estas niveligi la sciojn de la studentoj, kiuj venas de tre malsamaj lernejoj. Supozeble (hahaha) post la "áera común" ili povas senprobleme komenci siajn universitatajn studojn.

nadarang (Wasifu wa mtumiaji) 18 Juni 2020 7:31:03 alasiri

Nu, mia esplorado indikas ke "y" estas identa al "ln (e ^ x +1) - x "

Ĝi estas neevitebla fakto.

nornen (Wasifu wa mtumiaji) 18 Juni 2020 7:55:11 alasiri

Ĝuste. Aŭ alivorte: y = ln (e^-x + 1)

Kurudi juu