"3/4-a" estas la ordinalo de "3/4" ??

ORDINALONOJ (aŭ KARDINALONOJ)

unua, tri-duona, dua...

kiam oni uzas kvantojn por nomi elementojn kiuj serie aldoniĝas al serio, sed ne ĉe la fino de la serio sed hazarde interne, kaj la nomoj ne ŝanĝiĝas, tiukaze, problemo de "ordinala kvarono" aŭ, pli prezice, "ordinal(a kvant)ono" aperas.


Imagu ke vi jam havas elementojn "1" kaj "2" aŭ "unua" kaj "dua",
tiam aperas nova elemento inter la du unuaj: 1,5 = 3/2 = "tri-duon-a",
kaj poste aperas elemento inter la unu-a kaj la tri-duona: "kvaron-a", kaj poste…


Mi devas memorigi ke tiu serio estas serio de speciala tipo, kiu ne kreskas ĉe la fino, sed hazarde interne.
Kiam mi notas la taskojn por realigi hodiaŭ, mi produktas serion de tiu tipo (provizora nomo: "ordinalona serio").

Ne, kvantonombroj difinas kvanton de elementoj en aro, kaj kvanto ne povas esti frakcio(*). Kiom da elementoj aro havas estas temo de aroteorio. Bv. legi pri povo de aro.

*: Vi havas rajton pruvi alie kaj malkonfirmi la aroterion de George Cantor. Bonŝancon!

Tamen, ekzemple, en javascript oni povas aldoni 1,5-an elementon al aron:
var array = [0,1,2,3];
array[1.5] = 1.5;

sergejm:Tamen, ekzemple, en javascript oni povas aldoni 1,5-an elementon al aron:
var array = [0,1,2,3];
array[1.5] = 1.5;

Aĥ, nerdaĵo! Elementoj en aro ne havas ordon. Pomo kaj oranĝo apartenas aron de fruktoj, sed oni ne povas diri, ke pomo antaŭas oranĝon aŭ kontraŭe.

La javaskripta datenstrukturo array ne estas vektoro en matematika senco, t.e. ke ĝi havus iun enkonstruitan ordon (kp. kun direkto de vektoro). Array estas tabelo, en kiu oni asocias iun etikedon kun elemento. Kutime oni uzas entjerojn kiel etikedoj por faciligi iteraciadon de elementoj (ekz. for(var i=0; i < 10; i++){...} ), sed la etikedo povas esti ankaŭ 1.5. Provu iteracii tabelon kun ĉi tiu etikedo sen eksplice diri "1.5".

Kvankam aroj ne havas ordon, oni povas nombri la elementojn. Por ĉi tiu celo oni uzas kvantonombrojn.

Metsis diris:
"Kvankam aroj ne havas ordon, oni povas nombri la elementojn. Por ĉi tiu celo oni uzas kvantonombrojn."

Mi neniam diris "aro", Metsis, mi diris "serio" (kiu ĉiam havas ordon) sed "serio kiu kreskas elemento post elemento tiel ke la nova elemento povas esti ĉie inter du sinsekvaj elementoj, ne nur fine aŭ komence de la serio". Se iu konas la nomo de tia serio, tio helpus min. Danke.

segejm diris:
"En javascrip … array[1.5] = 1.5"

Jes, segejm, javascript uzas tiun eblon de "ajnona serio" nur ĉar estas praktike, tiomkiom kaze de mia taga taglisto.

amigueo,

Vi ŝajnas miksi elementojn kaj elnombradon.

Aro estas kolekto de elementoj, kiuj kontentigas ian kondiĉon P (vd. artikolon en Vikipedio).

{x ∊ A | P} aŭ {x ∊ A : P}

("Elemento ikso apartenas aron/al aro A, kiam ĝi kontentigas kondiĉon P.")

Aro malhavas ordon. Se oni aldonas sur aro A duargumentan rilaton R, kiu estas

∀a,b,c ∈ A:
("por ĉiuj a,b,c en (aro) A validas, ke...")
- se a ≤ b kaj b ≤ a tiam a = b (malsimetria)
- se a ≤ b kaj b ≤ c tiam a ≤ c (transitiva)
- a ≤ b aŭ b ≤ a (tuteca)
oni havas tutecan aŭ linearan ordon.

< A, R >

(Mi ne certas, kiel oni eldiras ĉi tion. Eble "aro A ordigita per rilato R".)

(Parentese notu, ke oni devus skribi simbolon ∈ grande, kiam oni forlasas kondiĉon, kaj malgrande ∊ kiam oni skribas ĝin. Praktike oni ne ĉiam obeas ĉi tiun tipografian konvencion.)

Elnombrado estas procezo, per kiu oni listigas la elementojn de aro. Elnombrado estas sendependa de, ĉu la aro estas ordigita aŭ ne. Ĉi tiu listigo, elnombrado, okazas uzante kvantonombrojn: "unua, dua, tria... elemento"

Bone, vi havas "serion" kun via difino. Alivorte vi havas aron de reelaj nombroj, ℝ, kaj vi ordigas ĝin uzante la rilaton "(strikte) malgranda ol" (notu, ke ne estas necesa diri "strikte", ĉar aro laŭdifine ne povas enhavi plurajn ekzemplerojn de unu elemento)

< ℝ,"<" >

En programlingvoj ĉiuj datenstrukturoj (inkl. aroj sen aŭ kun ordo) devas esti finaj, finhavaj, ĉar memoroj kaj datenportiloj estas finaj. En matematiko aroj (sen aŭ kun ordo) ne bezonas esti finaj. En ambaŭ kazoj oni povas elnombri la elementoj (kaj ĵus Cantor inventis kiel elnombri senfinajn arojn; temo de universitata nivela kurso de matematiko).

Metsis:amigueo,
Vi ŝajnas miksi elementojn kaj elnombradon.

ne, mi ne elnombras, mi uzas numerojn por nomi elementojn. kial? cxar tiuj numeroj (nomoj) esprimas ordon en tiu aro kiu kreskas. tia aro bezonas legxon aux kondicon por akcepti membrojn? kompreneble: la legxo: "la nekompreninda kriterio konata nur de la kreanto de la pasxpostpasxe kreskanta ordhava aro".

Mi ne certas, ĉu mi komprenas...

Kiel "mi uzas numerojn por nomi elementojn" ne similas al elnombrado?

"...esprimas ordon en tiu aro kiu kreskas" He, laŭ la difino aro enhavas ĉiujn elementojn, kiuj kontentigas la kondiĉon. Se oni ŝanĝas la kondiĉon tiel, ke la aro enhavas pli da elementoj, oni ne plu povas paroli, ke temas pri la sama aro.

Aroj? Sekvencoj? Serioj? Kardinaloj? Ordinaloj? Hej! Teorio de Aroj estas sendube mia plej ŝatata matematika temaro. Mi supozas, ke ni parolas pri teorio de aroj laux la aksiomoj ZF.


Kelke da observetoj:

{x ∊ A | P} aŭ {x ∊ A : P}

("Elemento ikso apartenas aron/al aro A, kiam ĝi kontentigas kondiĉon P.")

"Elemento ikso apartenas aron/al aro A, kiam ĝi kontentigas kondiĉon P." estas erara. La esprimo eldiras nenion pri A, nur pri {x ∊ A | P}. La aro {x ∊ A | P} estas tiu aro, kies elementoj estas elementoj de A kaj samtempe kontentigas P. Alivorte:
∀A ∀x ∀y . y ∊ {x ∊ A | P} ⟺ y ∊ A ∧ P (y)

Ekzemple {x ∊ ℕ | x > 5} ne eldiras “elemento ikso apartenas aron/al aro ℕ , kiam ĝi kontentigas kondiĉon x > 5”, sed {x ∊ ℕ | x > 5} definas novan subaron de N, kies elementoj estas pli grandaj ol 5.
La ZF’a aksiomaro de specifado certigas la ekzistadon de {x ∊ A | P}.

Pri Ordinaloj kaj Tutecaj Ordoj

Tuteca ordo estas kondiĉo necesa, tamen ne estas kondiĉo sufiĉa por ke ordo havu ordinalon. Estas necese, ke la ordo estu bone-fondita (well-founded). Tio estas, ĉiu ne-malplena subaro de aro S devas havi plej malgrandan elementon laux ordo R, por ke (S, R) havu ordinalon.

La kvar subaj ordoj ĉiuj estas tutecaj, tamen ne ĉiuj havas ordinalon.

Ni difinu ordon R1 sur la nombroj naturaj tiel: 0 < 1 < 2 < 3 < 4 …
Tiu ordo havas ordinalon, nome ω.

Nun ni ordigas ilin tiel: … 9 < 7 < 5 < 3 < 1 < 0 < 2 < 4 < 6 < 8 …
Tiu ordo ne havas ordinalon, ĉar ekzemple la subaro {x ℕ | x < 5} ne havas plej malgrandan elementon.

Nun ni ordigas ilin tiel: 0 < 1 < 3 < 5 < 7 < 9 < … < 2 < 4 < 6 < 8 < 10 …
Tiu ordo ja havas ordinalon, nome ω·2.

La "normala" < pri la aro {x ∊ ℚ | 2 < x < 5} ne havas ordinalon ĉar ne ĉiuj subaroj enhavas plej malgrandan elementon.

En programlingvoj ĉiuj datenstrukturoj (inkl. aroj sen aŭ kun ordo) devas esti finaj, finhavaj, ĉar memoroj kaj datenportiloj estas finaj.

Kelke da lingvoj ja permesas datenstrukturojn senfinajn, ekz Haskell, danke al pigra taksado (lazy evaluation).

Pri la originala demando de amigueo

En matematiko ĝenerale oni elnombras elementojn de sekvenco per nombraj naturaj, tiu estas, sekvenco estas difinita per aro A kaj funkcio F el subaro de ℕ al A. Ekzemple la aro {n, o, r, e} kaj la funkcio f (1) = n; f (2) = o; f (3) = r; f (4) = n; f (5) = e; f (6) = n difinas la sekvencon “nornen”.

Se vi per ia kialo volas uzi alian aron de indeksoj, uzu ĝin! Tio temas pri matematiko, ĉio eblas.

Ni nomu aron A kaj funkcion F el subaro de ℚ al A “amiguea sekvenco”.

Ekzemple:
A estu {pomo, terpomo, avokado}

Vi difinas unuan amiguean sekvencon tiel: f (1) = pomo.
Nun vi difinas duan amiguean sekvencon tiel: f (1) = pomo kaj f (2) = avokado.
Nun vi dinifas trian amiguean sekvencon –enŝovante terpomon inter la pomo kaj la avokado– tiel: f (1) = pomo kaj f (1,5) = terpomo kaj f (2) = avokado.
Nun vi difinas kvaran amiguean sekvencon –enŝovante plian pomon inter la terpomo kaj la avokado– tiel: f (1) = pomo kaj f (1,5) = terpomo kaj f (1,75) = pomo kaj f (2) = avokado.

Matematika problemo solvita. Lingvoscienca (elparola) problemo dauxras.

Do, se mi bone komprenas, nornen,
la matematika solvo al la demando de ĉi temfadeno nomiĝas SEKVENCO.

Sed mi ne klare komprenas, se tiu listo de amigueaj sekvencoj estas mem unuo, strukturo el kiu la lasta sekvenco poviĝas rekonstrui la tutan procedon aŭ la tutan liston, ekde la unua sekvenco.

La lasta sekvenco "amiguea" enhavas la kreskevoluan registron.
La historiistoj ŝatus la amigueajn sekvencojn. Tio inspiras alternativan nomon:
Tracsekvenco, evolusekvenco...