This part of grammar rule #6 has been stifling me as I try to learn:
"Participles (with adjectival or adverbial meaning): present active, -ant; past active, -int; future active, -ont; present passive, -at; past passive, -it; future passive, -ot. All forms of the passive are formed with the aid of the corresponding form of the verb esti (English to be) and the passive participle of the required verb; the preposition with the passive is de (English by)."

How do I know whether or not to use these with the regular endings (past being "-is", present being "-as", and future being "-os")? How are progressive, simple, and perfect made? What are some examples of what these mean when translated?

I appreciate all help in advance!

While English has only two participles (present participle active, eg. biting; and past participle passive, eg. bitten), Esperanto, as you have pointed out, has six. In order to directly translate the additional four into English we have to do some trickery:

ACTIVE:
present: mordante - biting
past: mordinte - having bitten
future: mordonte - about to bite

PASSIVE:
present: mordate - being bitten
past: mordite - bitten
future: mordote - about to be bitten

Also these participles are labelled "present", "past" and "future", they don't express absolute tense, but relative tense. This means that the present participle refers to concurrent events, the past participle to preceding events and the future participle to subsequent events. These misnomers really cause learners a lot of troubles.

Some examples:

ADJECTIVAL USE:
Kiu estis la ploranta infano? = Kiu estis la infano, kiu ploris (en la momento de la demando)? = Who was the crying child?
Kiu estis la plorinta infano? = Kiu estis la infano, kiu ploris (antaŭe)? = Who was the child who had cried?
Kiu estis la ploronta infano? = Kiu estis la infano, kiu ekploros (estonte)? = Who was the child who was about to cry?

ADVERBIAL USE:
Falinte li mortis. = Li falis kaj post la falo li mortis. = Having fallen down, he died.
Falante li mortis. = Li falis kaj dum la falo li mortis. = Falling down, he died.
Falonte li retrovis la ekvilibron. = Li preskaŭ ekfalis, sed antaŭ ol la falo, li retrovis la ekvilibron. = About to fall, he found his balance again.

pagita mono = money that (has been/had been/will be) paid.
pagata mono = money that (is being/was being/¿will be being?) paid.
pagota mono = money that (is/was/will be) about to be paid.

paginta kliento = a customer who (has/had) paid
paganta kleinto = a paying customer / a customer who always pays / a customer who is paying right now
pagonta kliento = a customer who is about to pay / a customer who will pay in the future

PASSIVE (all these translations are only approximations):
La pordo estas fermata. = The door is being closed.
La pordo estas fermita. = The door is shut (it has been closed).
La pordo estas fermota. = The door is about to be shut.

La pordo estis fermata. = The door was being closed.
La pordo estis fermita. = The door was shut (it had been closed).
Lo pordo estis fermota. = The door was about to be shut.

La pordo estos fermata. = Someone will be closing this door.
La pordo estos fermita. = The door will be shut (someone will close it).
Lo pordo estos fermota. = The door will be about to be shut.

@CannedFrootloops

To add what Nornen said en ria bona respondo.

You mentioned "progressive", which I take to mean a verb expression like "I am reading". In linguistics there is a term called aspect, which denotes something about a verb that is neither a voice (active/passive) nor a tense (like past, present and future). Different languages have different aspects, the progressiveness is particular to English, Esperanto does not have it.

The participles in Esperanto are used to denote a state and as Nornen said, they are relative to the main verb, the predicate, in a sentence. While Zamenhof used the participles in compound verbs, à la Mi estas leganta, one of the early pioneers Kazimierz Bein made a heavy impact on the style. One of his contributions, if not the greatest, is to prefer the simple verb forms, i.e. Mi legas, and use the adjective participles only as attributes as Nornen did.

From that denoting state follows that the esti-passive is more a description of a state than a description of the action.
 

• La pordo estas fermita : The door is currently in a state of being closed = … is closed

If you instead want to describe the action, "has been closed", the easiest way is to used the oni-passive which combined with the simple verb form preference gives us.
 

• La pordon oni fermis.

Not intending to offend you, but… I see that you have given Usono as your country, so quite likely you are a native English-speaker. Many English-speakers try to map the English verb system with its progressive forms and tendency to use the passive voice directly onto Esperanto. This easily results in overly clumsy expressions, so for main verbs prefer the simple forms, prefer the oni-passive for the passive voice and take a note that the explicitly marked accusative liberates the word order (as I did above).

Bonvenon al Esperantujo!

I agree. You don't have to use complex tenses unless you feel the need for them. Zamenhof created those participles only for people whose native language have such features. You may not use them at all. Ju pli simple, des pli bone.

Mi estas tre dankema pro via klarigo! Mi fine komprenas bone ĉi tiun sufiksojn.

nornen:While English has only two participles (present participle active, eg. biting; and past participle passive, eg. bitten), Esperanto, as you have pointed out, has six. In order to directly translate the additional four into English we have to do some trickery:

ACTIVE:
present: mordante - biting
past: mordinte - having bitten
future: mordonte - about to bite

PASSIVE:
present: mordate - being bitten
past: mordite - bitten
future: mordote - about to be bitten

Also these participles are labelled "present", "past" and "future", they don't express absolute tense, but relative tense. This means that the present participle refers to concurrent events, the past participle to preceding events and the future participle to subsequent events. These misnomers really cause learners a lot of troubles.

Some examples:

ADJECTIVAL USE:
Kiu estis la ploranta infano? = Kiu estis la infano, kiu ploris (en la momento de la demando)? = Who was the crying child?
Kiu estis la plorinta infano? = Kiu estis la infano, kiu ploris (antaŭe)? = Who was the child who had cried?
Kiu estis la ploronta infano? = Kiu estis la infano, kiu ekploros (estonte)? = Who was the child who was about to cry?

ADVERBIAL USE:
Falinte li mortis. = Li falis kaj post la falo li mortis. = Having fallen down, he died.
Falante li mortis. = Li falis kaj dum la falo li mortis. = Falling down, he died.
Falonte li retrovis la ekvilibron. = Li preskaŭ ekfalis, sed antaŭ ol la falo, li retrovis la ekvilibron. = About to fall, he found his balance again.

pagita mono = money that (has been/had been/will be) paid.
pagata mono = money that (is being/was being/¿will be being?) paid.
pagota mono = money that (is/was/will be) about to be paid.

paginta kliento = a customer who (has/had) paid
paganta kleinto = a paying customer / a customer who always pays / a customer who is paying right now
pagonta kliento = a customer who is about to pay / a customer who will pay in the future

PASSIVE (all these translations are only approximations):
La pordo estas fermata. = The door is being closed.
La pordo estas fermita. = The door is shut (it has been closed).
La pordo estas fermota. = The door is about to be shut.

La pordo estis fermata. = The door was being closed.
La pordo estis fermita. = The door was shut (it had been closed).
Lo pordo estis fermota. = The door was about to be shut.

La pordo estos fermata. = Someone will be closing this door.
La pordo estos fermita. = The door will be shut (someone will close it).
Lo pordo estos fermota. = The door will be about to be shut.

Vi pravas. En la angla kaj ankaŭ en la hispana (mia gepatra lingvo) oni povas diri "I am reading" aŭ "Yo estoy leyendo". Mi loĝas nun en germanio kaj la germana, tiel kiel la Esperanto, ne havas ĉi tiun gramatikan tempon (?). Mi havis problemon komence por kompreni ĉi tion. Oni ne devas tradukti ekde la gepatra lingvo, sed oni devas provi pensi per la nova lingvo. Ĝi estas ĉiam malfacile komence.

Metsis:@CannedFrootloops

To add what Nornen said en ria bona respondo.

You mentioned "progressive", which I take to mean a verb expression like "I am reading". In linguistics there is a term called aspect, which denotes something about a verb that is nor a voice (active/passive) neither a tense (like past, present and future). Different languages have different aspects, the progressiveness is particular to English, Esperanto does not have it.

The participles in Esperanto are used to denote a state and as Nornen said, they are relative to the main verb, the predicate, in a sentence. While Zamenhof used the participles in compound verbs, à la Mi estas leganta, one of the early pioneers Kazimierz Bein made a great contribution on the style. One of his contributions, if not the greatest, is to prefer the simple verb forms, i.e. Mi legas, and use the adjective participles only as attributes as Nornen did.

From that denoting state follows that the esti-passive is more a description of a state than a description of the action.
 

• La pordo estas fermita : The door is currently in a state of being closed = … is closed

If you instead want to describe the action, "has been closed", the easiest way is to used the oni-passive which combined with the simple verb form preference gives us.
 

• La pordon oni fermis.

Not intending to offend you, but… I see that you have given Usono as your country, so quite likely you are a native English-speaker. Many English-speakers try to map the English verb system with its progressive forms and tendency to use the passive voice directly onto Esperanto. This easily results in overly clumsy expressions, so for main verbs prefer the simple forms, prefer the oni-passive for the passive voice and take a note that the explicitly marked accusative liberates the word order (as I did above).

Bonvenon al Esperantujo!

Thank you all so much! Your help has been so helpful and has inspired me to continue : )

vilhelmobandito:Vi pravas. En la angla kaj ankaŭ en la hispana (mia gepatra lingvo) oni povas diri "I am reading" aŭ "Yo estoy leyendo". Mi loĝas nun en germanio kaj la germana, tiel kiel la Esperanto, ne havas ĉi tiun gramatikan tempon (?). Mi havis problemon komence por kompreni ĉi tion. Oni ne devas tradukti ekde la gepatra lingvo, sed oni devas provi pensi per la nova lingvo. Ĝi estas ĉiam malfacile komence.

Se vi parolas kaj la germanan kaj la anglan, la afero estas pli facila:

Samkiel en la germana por aktivaj verboformoj oni ne bezonas participojn: estoy leyendo -> ich lese (gerade) -> mi legas (nun). estuve haciendo -> ich machte -> mi faris

La pasivo funkcias tiel:

La pordo estas fermata. -> Die Tür wird geschlossen. -> La puerta está siendo cerrada. -> Están cerrando la puerta.
La pordo estas fermita. -> Die Tür ist geschlossen. -> La puerta está cerrada. -> Cerraron (han cerrado) la puerta.

nornen:

vilhelmobandito:Vi pravas. En la angla kaj ankaŭ en la hispana (mia gepatra lingvo) oni povas diri "I am reading" aŭ "Yo estoy leyendo". Mi loĝas nun en germanio kaj la germana, tiel kiel la Esperanto, ne havas ĉi tiun gramatikan tempon (?). Mi havis problemon komence por kompreni ĉi tion. Oni ne devas tradukti ekde la gepatra lingvo, sed oni devas provi pensi per la nova lingvo. Ĝi estas ĉiam malfacile komence.

Se vi parolas kaj la germanan kaj la anglan, la afero estas pli facila:

Samkiel en la germana por aktivaj verboformoj oni ne bezonas participojn: estoy leyendo -> ich lese (gerade) -> mi legas (nun). estuve haciendo -> ich machte -> mi faris

La pasivo funkcias tiel:

La pordo estas fermata. -> Die Tür wird geschlossen. -> La puerta está siendo cerrada. -> Están cerrando la puerta.
La pordo estas fermita. -> Die Tür ist geschlossen. -> La puerta está cerrada. -> Cerraron (han cerrado) la puerta.

Nun mi dubas:
La pordo estis fermata = Die Tür wurde geschlossen.

Ĉu ĝi estas ĝusta?

vilhelmobandito:Nun mi dubas:
La pordo estis fermata = Die Tür wurde geschlossen.

Ĉu ĝi estas ĝusta?

Unue, mi volas konstati, ke ĉiu traduko ĉiam estas interpreto kaj mensogo. Ne ekzistas rekta rilato unu-al-unu inter lingvoj.

Due, vi pravas.
La pordo estis fermata. = Die Tür wurde geschlossen. = La puerta estaba siendo cerrada. = Estaban cerrando la puerta.
La pordo estis fermita. = Die Tür war geschlossen. = Die Tür war zu. = La puerta estaba cerrada.

Ekz:
Teorie, la vendejo de mia najbaraĵo fermiĝas je la oka. Sed hieraŭ mi alvenis je la 7:45 kaj la pordo jam estis fermita.
Supuestamente, la tienda de mi barrio cierra a las ocho. Pero ayer llegué a las 7:45 y la puerta ya estaba cerrada.
(La fermado de la pordo okazis antaŭ mia alveno.)

Teorie, la vendejo de mia najbaraĵo fermiĝas je la oka. Sed hieraŭ mi alvenis je la 7:45 kaj la pordo jam estis fermata.
Supuestamente, la tienda de mi barrio cierra a las ocho. Pero ayer llegué a las 7:45 y ya estaban cerrando la puerta.
(La fermado de la pordo okazis dum mia alveno.)