Al la enhavo

Enigmo: kiel for?

de Miland, 2009-novembro-23

Mesaĝoj: 14

Lingvo: Esperanto

Miland (Montri la profilon) 2009-novembro-23 00:56:22

Ene de ortangula (rektangula) kampo estas flagstango. Ĝi staras je distanco de 5m de unu angulo, kaj 14m de la kontraŭa angulo. Ĝi estas 10m de unu el la aliaj du anguloj.

Kio estas la distanco al la flagstango de la kvara angulo?

Verda stelo por la unua ĝusta solvo!

KoLonJaNo (Montri la profilon) 2009-novembro-23 03:34:05

Saluton!

Miland:Ene de ortangula (rektangula) kampo estas flagstango. Ĝi staras je distanco de 5m de unu angulo, kaj 14m de la kontraŭa angulo. Ĝi estas 10m de unu el la aliaj du anguloj.

Kio estas la distanco al la flagstango de la kvara angulo?
La distanco de la flagstango al la kvara angulo estas 11 m.

Kolonjano

Sxak (Montri la profilon) 2009-novembro-23 05:19:39

Miland:Ene de ortangula (rektangula) kampo estas flagstango...
Ŝajnas, ke tiu vorto estas superflua ĉu ne? Eĉ se tiu stango starus ekstere la respondo estus sama
[strike]Interalie mi ne scias, ĉu tio eblas? Do ĉu eblas, ke la stango staru ekstere je la samaj distancoj kiel en la reguloj?[/strike]
JEs, certe eblas...

Miland (Montri la profilon) 2009-novembro-23 10:28:35

KoLonJaNo:Saluton!
La distanco de la flagstango al la kvara angulo estas 11 m.
Kolonjano
Saluton Kolonjano - kaj gratulon! Vi pravas, kaj gajnas la verdan stelon:

Miland (Montri la profilon) 2009-novembro-23 10:37:02

Ŝak:
Miland:Ene de ortangula (rektangula) kampo estas flagstango...
Ŝajnas, ke tiu vorto estas superflua ĉu ne?
La kondiĉo ne estas superflua, ĉar sen ĝi la solvo ne estas unika. Oni havos alian solvon se la stango estas ekster la kampo.

Sxak (Montri la profilon) 2009-novembro-23 11:04:13

Miland:
Ŝak:
Miland:Ene de ortangula (rektangula) kampo estas flagstango...
Ŝajnas, ke tiu vorto estas superflua ĉu ne?
Ne, la kondiĉo ne estas superflua. Laŭ la origina problemo, kaj mia solvo, necesas ke la stango estu ene de la ortangulo. Sed, se vi povos trovi solvon kiam la stango estas ekstere, des pli bone!
Strange. Kiam mi ekvidis tion kun la respondo de Kolonjano mi rapide sukcesis pruvi teoremon, ke por la rektangulo ABCD kaj ajna punkto X AX*AX+C'X*C'X=BX*BX+DX*DX El ĝi ja sekvas lia respondo... Do mi tuj montros al vi ĝian pruvon k bv montri al mi, kie mi uzas tion, ke X estas ene de ABCD...
Do unue lemo: Por ABCD kaj X
XA*XC=XB*XD (kie temas pri la vektoroj XA XB XC XD kaj skalara produto *)
Elektu jenajn kooordinatojn:
Estu A=(0,0), B=(a,0), D=(0,b), do C=(a,b)
Estu X=(x,y)
Do XA=(-x,-y) XB=(a-x,-y), XD=(-x,b-y), XC=(a-x,b-y)
Do
XA*XC=x(x-a)+y(y-b)
XB*XD=x(x-a)+y(y-b) do vi povas vidi, ke la lemo veras.
Pri la teoremo: (jam temas pri produtoj de longecoj de tranĉaĵoj kaj ne pri skalara produto) Memoru, ke AC=BD kaj do AC^2=BD^2
Pro la teoremo de kosinusoj
AC^2=XA^2+XC^2-2*XA*XC*cos(ang AXC)
=
BD^2=XB^2+XD^2-2*XB*XD*cos(ang BXD)
Rimarku, ke XA*XC*cos(ang AXC) estas skalara produto de la vektoroj XA kaj XC kaj ĝi egalas (pro la supra lemo) al la skalara produto de XB kaj XD kaj al XB*XD*cos(ang BXD) Do en la ekvacio ni povas forigi tiujn egalajn membrojn
Do rezulte ni havas, ke XB^2+XD^2=XA^2+XC^2 por ajna X

sergejm (Montri la profilon) 2009-novembro-23 11:28:13

Ŝak:Kiam mi ekvidis tion kun la respondo de Kolonjano mi rapide sukcesis pruvi teoremon, ke por la rektangulo ABCD kaj ajna punkto X AX*AX+C'X*C'X=BX*BX+DX*DX El ĝi ja sekvas lia respondo... Do mi tuj montros al vi ĝian pruvon k bv montri al mi, kie mi uzas tion, ke X estas ene de ABCD...
Do unue lemo: Por ABCD kaj X
XA*XC=XB*XD (kie temas pri la vektoroj XA XB XC XD kaj skalara produto *)
Elektu jenajn kooordinatojn:
Estu A=(0,0), B=(a,0), D=(0,b), do C=(a,b)
Estu X=(x,y)
Do XA=(-x,-y) XB=(a-x,-y), XD=(-x,b-y), XC=(a-x,b-y)
Sen via lemo sed kun viaj koordinatoj la pruvo estos pli simpla.
AX*AX = x*x + y*y
C'X*C'X = (a-x)*(a-x) + (b-y)*(b-y)
AX*AX + C'X*C'X = x*x + y*y + (a-x)*(a-x) + (b-y)*(b-y)
BX*BX = (a-x)*(a-x) + y*y
DX*DX = x*x + (b-y)*(b-y)
BX*BX + DX*DX = (a-x)*(a-x) + y*y + x*x + (b-y)*(b-y) = AX*AX + C'X*C'X

Miland (Montri la profilon) 2009-novembro-23 12:54:18

Mi ne diris, ke la problemo estas nesolvebla kun stango ekster la kampo. Sed kiam mi tralaboris la problemon tiel, mi havis alian solvon ol la oficiala. Tial la problemo postulas ke la stango estu ene de la kampo.

Jen vida pruvo: imagu ortangulo ABCD kun A je la Nordokcidenta (supra maldekstra) angulo, kaj la stango je X ene de ĝi, por ke XB = 5, XD = 14 kaj XC = 10. La solvo estas XA = 11. Nun imagu ke X estas spegulita en la linio AB, por ke estas X', egale for de A kaj B kiel X. La distanco al A estas la sama, la solvo restas la sama , sed vidu ke la distancoj XC kaj XD pliiĝis. Do la originaj kondiĉoj XC = 10 kaj XD = 14 estas nun rompitaj. Ĉu pli klare nun?

Sxak (Montri la profilon) 2009-novembro-23 13:17:06

Miland:... vidu ke la distancoj XC kaj XD pliiĝis ...
Mi diris, ke sendepende de tio, ĉu X estas ene de ABCD aŭ ekstere de ĝi, se ĉiuj distacoj estas samaj, do ankaŭ la respondo estas sama. En via ekzemplo pliiĝis ekzemple XC kiu estas inter la kondiĉoj de la enigmo

sergejm:
Vi certe pravas, sed tagmeze mi skribis tiun solvon, kiun mi trovis matene kaj ĝi evidentiĝis ne tre simpla kiel vi montris ridulo.gif Tiam mi komence trovis tiun 2an formulon kaj rimarkis, ke se tiu lemo validas, do la pruvo ekzistas

sergejm (Montri la profilon) 2009-novembro-23 13:45:01

Miland:
Jen vida pruvo: imagu ortangulo ABCD kun A je la Nordokcidenta (supra maldekstra) angulo, kaj la stango je X ene de ĝi, por ke XB = 5, XD = 14 kaj XD = 10. La solvo estas XA = 11. Nun imagu ke X estas spegulita en la linio AB, por ke estas X', egale for de A kaj B kiel X. La distanco al A estas la sama, la solvo restas la sama , sed vidu ke la distancoj XC kaj XD pliiĝis. Do la originaj kondiĉoj XC = 10 kaj XD = 14 estas nun rompitaj. Ĉu pli klare nun?
Nenio klara! XD = 14 kaj XD = 10 do 14=10?
Verŝajne vi volis diri XC=10?
Se vi spegilos X ĉirkaŭ AB, estos tute alia tasko - du distancoj estas ne la samaj.

Jen origina rektangulo:
C======B
+------+ XA=11
|======| XB=5
|===X==| XC=10
|======| XD=14
+------+
D======A
Faru linion EF, paralela al AB kaj CD, iranta tra X:
C===E==B
+---+--+ XA=11
|===|==| XB=5
|===X==| XC=10
|===|==| XD=14
+---+--+
D===F==A
AB Spegulita ĉirkaŭ EF estos ab:
C=b=E==B
+-+-+--+ XA=11
|=|=|==| XB=5
|=|=X==| XC=10
|=|=|==| XD=14
+-+-+--+
D=a=F==A

abCD taugos por la origina tasko sen "ene"!
Kaj aliaj longeco de XA ne eblas.
Sed certe oni ne povas trovi AB kaj BC el distancoj de X al la anguloj.

Reen al la supro