Meddelelser: 14
Sprog: Esperanto
Miland (Vise profilen) 23. nov. 2009 00.56.22
Kio estas la distanco al la flagstango de la kvara angulo?
Verda stelo por la unua ĝusta solvo!
KoLonJaNo (Vise profilen) 23. nov. 2009 03.34.05
Miland:Ene de ortangula (rektangula) kampo estas flagstango. Ĝi staras je distanco de 5m de unu angulo, kaj 14m de la kontraŭa angulo. Ĝi estas 10m de unu el la aliaj du anguloj.La distanco de la flagstango al la kvara angulo estas 11 m.
Kio estas la distanco al la flagstango de la kvara angulo?
Kolonjano
Sxak (Vise profilen) 23. nov. 2009 05.19.39
Miland:Ene de ortangula (rektangula) kampo estas flagstango...Ŝajnas, ke tiu vorto estas superflua ĉu ne? Eĉ se tiu stango starus ekstere la respondo estus sama
[strike]Interalie mi ne scias, ĉu tio eblas? Do ĉu eblas, ke la stango staru ekstere je la samaj distancoj kiel en la reguloj?[/strike]
JEs, certe eblas...
Miland (Vise profilen) 23. nov. 2009 10.28.35
KoLonJaNo:Saluton!Saluton Kolonjano - kaj gratulon! Vi pravas, kaj gajnas la verdan stelon:
La distanco de la flagstango al la kvara angulo estas 11 m.
Kolonjano
★
Miland (Vise profilen) 23. nov. 2009 10.37.02
Ŝak:La kondiĉo ne estas superflua, ĉar sen ĝi la solvo ne estas unika. Oni havos alian solvon se la stango estas ekster la kampo.Miland:Ene de ortangula (rektangula) kampo estas flagstango...Ŝajnas, ke tiu vorto estas superflua ĉu ne?
Sxak (Vise profilen) 23. nov. 2009 11.04.13
Miland:Strange. Kiam mi ekvidis tion kun la respondo de Kolonjano mi rapide sukcesis pruvi teoremon, ke por la rektangulo ABCD kaj ajna punkto X AX*AX+C'X*C'X=BX*BX+DX*DX El ĝi ja sekvas lia respondo... Do mi tuj montros al vi ĝian pruvon k bv montri al mi, kie mi uzas tion, ke X estas ene de ABCD...Ŝak:Ne, la kondiĉo ne estas superflua. Laŭ la origina problemo, kaj mia solvo, necesas ke la stango estu ene de la ortangulo. Sed, se vi povos trovi solvon kiam la stango estas ekstere, des pli bone!Miland:Ene de ortangula (rektangula) kampo estas flagstango...Ŝajnas, ke tiu vorto estas superflua ĉu ne?
Do unue lemo: Por ABCD kaj X
XA*XC=XB*XD (kie temas pri la vektoroj XA XB XC XD kaj skalara produto *)
Elektu jenajn kooordinatojn:
Estu A=(0,0), B=(a,0), D=(0,b), do C=(a,b)
Estu X=(x,y)
Do XA=(-x,-y) XB=(a-x,-y), XD=(-x,b-y), XC=(a-x,b-y)
Do
XA*XC=x(x-a)+y(y-b)
XB*XD=x(x-a)+y(y-b) do vi povas vidi, ke la lemo veras.
Pri la teoremo: (jam temas pri produtoj de longecoj de tranĉaĵoj kaj ne pri skalara produto) Memoru, ke AC=BD kaj do AC^2=BD^2
Pro la teoremo de kosinusoj
AC^2=XA^2+XC^2-2*XA*XC*cos(ang AXC)
=
BD^2=XB^2+XD^2-2*XB*XD*cos(ang BXD)
Rimarku, ke XA*XC*cos(ang AXC) estas skalara produto de la vektoroj XA kaj XC kaj ĝi egalas (pro la supra lemo) al la skalara produto de XB kaj XD kaj al XB*XD*cos(ang BXD) Do en la ekvacio ni povas forigi tiujn egalajn membrojn
Do rezulte ni havas, ke XB^2+XD^2=XA^2+XC^2 por ajna X
sergejm (Vise profilen) 23. nov. 2009 11.28.13
Ŝak:Kiam mi ekvidis tion kun la respondo de Kolonjano mi rapide sukcesis pruvi teoremon, ke por la rektangulo ABCD kaj ajna punkto X AX*AX+C'X*C'X=BX*BX+DX*DX El ĝi ja sekvas lia respondo... Do mi tuj montros al vi ĝian pruvon k bv montri al mi, kie mi uzas tion, ke X estas ene de ABCD...Sen via lemo sed kun viaj koordinatoj la pruvo estos pli simpla.
Do unue lemo: Por ABCD kaj X
XA*XC=XB*XD (kie temas pri la vektoroj XA XB XC XD kaj skalara produto *)
Elektu jenajn kooordinatojn:
Estu A=(0,0), B=(a,0), D=(0,b), do C=(a,b)
Estu X=(x,y)
Do XA=(-x,-y) XB=(a-x,-y), XD=(-x,b-y), XC=(a-x,b-y)
AX*AX = x*x + y*y
C'X*C'X = (a-x)*(a-x) + (b-y)*(b-y)
AX*AX + C'X*C'X = x*x + y*y + (a-x)*(a-x) + (b-y)*(b-y)
BX*BX = (a-x)*(a-x) + y*y
DX*DX = x*x + (b-y)*(b-y)
BX*BX + DX*DX = (a-x)*(a-x) + y*y + x*x + (b-y)*(b-y) = AX*AX + C'X*C'X
Miland (Vise profilen) 23. nov. 2009 12.54.18
Jen vida pruvo: imagu ortangulo ABCD kun A je la Nordokcidenta (supra maldekstra) angulo, kaj la stango je X ene de ĝi, por ke XB = 5, XD = 14 kaj XC = 10. La solvo estas XA = 11. Nun imagu ke X estas spegulita en la linio AB, por ke estas X', egale for de A kaj B kiel X. La distanco al A estas la sama, la solvo restas la sama , sed vidu ke la distancoj XC kaj XD pliiĝis. Do la originaj kondiĉoj XC = 10 kaj XD = 14 estas nun rompitaj. Ĉu pli klare nun?
Sxak (Vise profilen) 23. nov. 2009 13.17.06
Miland:... vidu ke la distancoj XC kaj XD pliiĝis ...Mi diris, ke sendepende de tio, ĉu X estas ene de ABCD aŭ ekstere de ĝi, se ĉiuj distacoj estas samaj, do ankaŭ la respondo estas sama. En via ekzemplo pliiĝis ekzemple XC kiu estas inter la kondiĉoj de la enigmo
sergejm:
Vi certe pravas, sed tagmeze mi skribis tiun solvon, kiun mi trovis matene kaj ĝi evidentiĝis ne tre simpla kiel vi montris
Tiam mi komence trovis tiun 2an formulon kaj rimarkis, ke se tiu lemo validas, do la pruvo ekzistas sergejm (Vise profilen) 23. nov. 2009 13.45.01
Miland:Nenio klara! XD = 14 kaj XD = 10 do 14=10?
Jen vida pruvo: imagu ortangulo ABCD kun A je la Nordokcidenta (supra maldekstra) angulo, kaj la stango je X ene de ĝi, por ke XB = 5, XD = 14 kaj XD = 10. La solvo estas XA = 11. Nun imagu ke X estas spegulita en la linio AB, por ke estas X', egale for de A kaj B kiel X. La distanco al A estas la sama, la solvo restas la sama , sed vidu ke la distancoj XC kaj XD pliiĝis. Do la originaj kondiĉoj XC = 10 kaj XD = 14 estas nun rompitaj. Ĉu pli klare nun?
Verŝajne vi volis diri XC=10?
Se vi spegilos X ĉirkaŭ AB, estos tute alia tasko - du distancoj estas ne la samaj.
Jen origina rektangulo:
C======B
+------+ XA=11
|======| XB=5
|===X==| XC=10
|======| XD=14
+------+
D======A
Faru linion EF, paralela al AB kaj CD, iranta tra X:
C===E==B
+---+--+ XA=11
|===|==| XB=5
|===X==| XC=10
|===|==| XD=14
+---+--+
D===F==A
AB Spegulita ĉirkaŭ EF estos ab:
C=b=E==B
+-+-+--+ XA=11
|=|=|==| XB=5
|=|=X==| XC=10
|=|=|==| XD=14
+-+-+--+
D=a=F==A
abCD taugos por la origina tasko sen "ene"!
Kaj aliaj longeco de XA ne eblas.
Sed certe oni ne povas trovi AB kaj BC el distancoj de X al la anguloj.