לתוכן העניינים
להגיב

Matematika tasko

של sergejm, 10 בפברואר 2021

הודעות: 125

שפה: Esperanto

sergejm (הצגת פרופיל) 13 ביוני 2021, 20:49:43

Oni elektas kvar punktojn sur la sfero.
Krom okazoj kiam ili estas sur unu ebeno (kies probableco estas 0), ili estas verticoj de kvaredro.
Kia estas probableco, ke la centro de la sfero estas ene de la tetraedro?

(Por simpleco, vi povas dekomence rigardi okazon de tri punktoj sur la cirklo)

nornen (הצגת פרופיל) 14 ביוני 2021, 16:09:20

Estu A, B kaj C tri malsamaj punktoj sur cirkonferenco de unita cirklo. Sen resktrikto de ĝeneraleco, la angulo φ inter A kaj B estu 0 < φ < π. La probableco, ke ĉiuokaze la triangulo enhavas la centron estas P(φ) = φ/2π. Nun ni bezonas sumi ĉiujn angulojn φ, kaj por ricevi la tutan probablecon ni bezonas dividi inter π (ĉar ni sumis de 0 ĝis π kaj ne de 0 ĝis 1): P = (1/π) ∫_0^π (P(φ) dφ) = (1/π) ∫_0^π (φ/2π dφ) = (1/2π²) ∫_0^π (φ dφ) = (1/4π²) (π² - 0²) = 1/4. Do la probableco estas 25%.

Plej verŝajne, mi eraras.

- - - -
Legu "∫_a^b" kiel "la difinita integralo de a ĝis b"

sergejm (הצגת פרופיל) 14 ביוני 2021, 19:57:01

Fakte, ĉio solviĝas, pli simple.
Estu A, B kaj C tri malsamaj punktoj sur cirklo, O estu centro de la cirklo kaj O ne estu sur unu el flankoj de triangulo ABC (kies probableco ankaŭ estas 0).
Trovu punktojn A', B' kaj C' sur la cirklo, tiaj ke linioj AA', BB' kaj CC' iras tra la centro O.
Nur unu el trianguloj ABC, A'BC, AB'C kaj A'B'C enhavas la centron O, do se oni elektu el ĉi kvar la probableco estas 25%.
Sed ĉiuj tiaj trianguloj, krom menciitaj ekceptoj, kies probableco estas 0, estas dividitaj je tiaj kvaropoj, do la tuta probableco estas ankaŭ 25%.

Simile oni povas solvi la tridimensian taskon.

sergejm (הצגת פרופיל) 14 ביוני 2021, 20:02:52

Tasko el Ĉinio: Sur la ŝipo estas 26 safoj kaj 10 kaproj. Kiom aĝa estas la ŝipestro?

La plejmulto diros, ke ne sufiĉas informo, sed fakte oni povas doni la respondon, sed necesas scii ĉinajn leĝojn. La respondo estas: La aĝo de la ŝipestro estas 28 aŭ pli. Verŝajne oni povas diri ankaŭ maksumuman aĝon (kiam ŝipestro iĝas pensiulo)

nornen (הצגת פרופיל) 14 ביוני 2021, 21:20:21

sergejm:Nur unu el trianguloj ABC, A'BC, AB'C kaj A'B'C enhavas la centron O, do se oni elektu el ĉi kvar la probableco estas 25%.
Eble tio bezonas iom pli da vortigo. Unue, difini ekvivalentrelacion ~ sur ĉiuj surcirklaj trianguloj, tiel ke A₁B₁C₁ ~ A₂B₂C₂, se kaj nur se (A₁ = A₂ ∨ A₁ = A'₂) ∧ (B₁ = B₂ ∨ B₁ = B'₂) ∧ (C₁ = C₂ ∨ C₁ = C'₂). Ĉiu ekvivalentklaso enhavas nun ok triangulojn. Nun pruvi, ke ekzakte du el tiuj ok enhavas la centron. Ĉar XYZ, X'YZ, XY'Z, XYZ' (kune kun la circlo) estas punktsimetriaj al X'Y'Z', XY'Z', X'YZ', X'Y'Z, sufiĉas pruvi vian eldiron pri kvar trianguloj.

nornen (הצגת פרופיל) 15 ביוני 2021, 17:13:20

En klaso 8A estas a lernantoj. La (aritmetika) mezumo de iliaj notoj en ekzameno estas 70.

En klaso 8B estas b lernantoj. La (aritmetika) mezumo de iliaj notoj en la sama ekzameno estas 92.

La (aritmetika) mezumo de la notoj de la lernantoj de ambaŭ klasoj kune en tiu ekzameno estas 86.

Kia estas la valoro de a/b?

sergejm (הצגת פרופיל) 15 ביוני 2021, 18:27:58

70*a+92*b=86*(a+b) = la sumo de notoj de lernantoj de ambaŭ klasoj
6*b=16*a
a/b=6/16=3/8=0,375
Ĉio estas simpla.

sergejm (הצגת פרופיל) 24 ביוני 2021, 04:54:05

Nun estas varma vetero, do mi verŝis boligitan akvon en plastikan botelon, kie antaŭe estis suko, fermis per korko kaj metis ĝin en malvarmumilon. Matene vi vidis ke volumo de akvo malpliiĝis, feliĉe la botelo estis plastika. Sed kiam en la botelo estis suko, ĉi tio estis ne rimarkebla. Kial?

nornen (הצגת פרופיל) 25 ביוני 2021, 03:52:54

Facile. La suko enhavis vodkon. Kiel alie oni trinkus sukon?

sergejm (הצגת פרופיל) 25 ביוני 2021, 05:14:48

Ne, akvo estis boligita kaj ankoraŭ varma.
Suko estis de ĉambra temperaturo - la volumo ankaŭ malgrandiĝis, sed ne tiom rimarkeble.
Se vi metos akvon en frostujo, la akvo iĝos glacio kaj la volumo male pligrandigos kaj la botelo povas dirŝiriĝi.

לראש הדף