Mergi la conținut
Răspunde

Kristnaska enigmo

de fizikisto, 23 decembrie 2010

Contribuții/Mesaje: 13

Limbă: Esperanto

fizikisto (Arată profil) 23 decembrie 2010, 20:10:23

Avo Frosto alportis donacojn, po unu por ĉiu familiano (la familio havas n anojn). Bedaŭrinde, ne troviĝas nomoj sur la donacoj, do neniu scias kiun donacon malfermu. Bone, ĉiu elektas hazarde unu donacon. Kompreneble, ĉiu donaco povas esti elektita nur de unu persono.
Kiom da familianoj averaĝe elektis sian destinitan donacon? Kaj ĉu vi povas pruvi la rezulton?

Sxak (Arată profil) 27 decembrie 2010, 11:17:32

1
estas iom malpli facila tasko "kia estas probableco, ke almenaŭ iu ricevos sian donacon"

Miland (Arată profil) 27 decembrie 2010, 18:52:14

Jen klasika problemo pri probableco, anglalingve "The matching problem" (laŭvorte, "la problemo de pariĝo"). Averaĝe oni atendas ke unu familio elektos sian destinitan donacon. Jen anglalingva pruvo.

Lom (Arată profil) 5 ianuarie 2011, 16:12:57

Interesa problemo. Mi neniam aŭdis pri tio antaŭ.
Bonvolu poŝti pli da enigmoj. ridulo.gif

Sxak (Arată profil) 6 ianuarie 2011, 00:40:36

Lom:
Bonvolu poŝti pli da enigmoj. ridulo.gif
Kia estas probableco, ke neniu ricevos sian donacon?

Lom (Arată profil) 6 ianuarie 2011, 19:54:12

Kia estas probableco, ke neniu ricevos sian donacon?
e^(-1)=0.3678794412 laŭ la ligilo de Miland.
Sed mi nur legis tion rapide.

Sxak (Arată profil) 7 ianuarie 2011, 02:31:47

limese
ha. ĉu tie estas solvita ankaŭ tiu eneigmo?
do jen la sekva:
3 ludantoj ludas jenan ludon:
Komence ili havas x, y kaj z stelojn. Ĉe ĉiu paŝo Ili per ĵetkubo elektas du ludantojn, poste denove per ĵetkubo elektas gajninton kaj malgajninto pagas al gajninto 1 stelon.
Se iu ludanto perdas ĉiujn stelojn, tiu lasas la ludon, sed la ludo plu daŭras inter la lastaj 2 ludantoj, ĝis iu icevos ĉiujn x+y+z stelojn.
1. Kiom da paŝoj averaĝe daŭros tiu ludo?
2. Kia estas probableco gajni por ĉiu ludanto?

fizikisto (Arată profil) 24 aprilie 2011, 12:12:43

Ŝak:3 ludantoj ludas jenan ludon:
Komence ili havas x, y kaj z stelojn. Ĉe ĉiu paŝo Ili per ĵetkubo elektas du ludantojn, poste denove per ĵetkubo elektas gajninton kaj malgajninto pagas al gajninto 1 stelon.
Se iu ludanto perdas ĉiujn stelojn, tiu lasas la ludon, sed la ludo plu daŭras inter la lastaj 2 ludantoj, ĝis iu icevos ĉiujn x+y+z stelojn.
1. Kiom da paŝoj averaĝe daŭros tiu ludo?
2. Kia estas probableco gajni por ĉiu ludanto?
Hodiaŭ mi tralegis ĉi tie kelkajn malnovajn enigmojn kaj trovis ĉi tiun, kiu ekde Kristnasko atendas sian solvon. Nun estas Pasko kaj jen la solvo (estis pli facile ol mi unue pensis, tamen mi bezonis kvin foliojn da papero):

Unue mi solvis ĝin por 2 ludantoj. Mi trovis ke averaĝe la ludo daŭras x*y paŝojn. La probableco gajni por la ludantoj estas x/(x+y) kaj y/(x+y).

Nun estas facile diveni la solvon por 3 ludantoj. La gajnprobablecoj estas x/(x+y+z) ktp., kion oni facile povas pruvi. Rimarkinde, ĝi estas honesta ludo, tio signifas ke ĉiu ludanto averaĝe gajnas 0.

Por 3 ludantoj la ludo daŭras x*y*z paŝoj ĝis unu el la ludantoj malgajnas. Ĉar la restantaj ludantoj ludas plu, la plena solvo estas, se mi ne mispensis, (x+1)*(y+1)*(z+1)-x-y-z+1 = x*y*z + x*y + x*z + y*z.

Sxak (Arată profil) 24 aprilie 2011, 13:48:19

fizikisto:
Unue mi solvis ĝin por 2 ludantoj. Mi trovis ke averaĝe la ludo daŭras x*y paŝojn. La probableco gajni por la ludantoj estas x/(x+y) kaj y/(x+y).
Jes ĝuste. Mi ne forigis tion, ĉar mi volas montri vian kontraŭdiron:
fizikisto:
la plena solvo estas, se mi ne mispensis, (x+1)*(y+1)*(z+1)-x-y-z+1 = x*y*z + x*y + x*z + y*z.
estu x=y=z=1 Laŭ via formulo la ludo daŭras 4, sed post 1 ajna paŝo la situacio estos 2 1 0, kio laŭ via supra kaj ĝusta formulo daŭos 2 pliajn paŝojn, do por 1 1 1 la ludo evidente daŭros 3 paŝojn, sed via formulo montras 4

fizikisto (Arată profil) 24 aprilie 2011, 20:36:38

Ŝak:estu x=y=z=1 Laŭ via formulo la ludo daŭras 4, sed post 1 ajna paŝo la situacio estos 2 1 0, kio laŭ via supra kaj ĝusta formulo daŭos 2 pliajn paŝojn, do por 1 1 1 la ludo evidente daŭros 3 paŝojn, sed via formulo montras 4
Hm, jes, vi pravas. Ŝajne mi kalkulis tro rapide. Kaj mi devas konfesi, ke nun mi ne plu povas memori kiel mi atingis tiun malĝustan formulon. La kunmetado de la unuaj paŝoj ĝis unu ludanto malgajnas kaj la sekvantaj paŝoj inter la restintaj ludantoj nun ŝajnas al mi malfacila.

Eble morgaŭ mi rezonos iomete plu.

Înapoi mai sus